Le ballon au voisinage d'une surface terrestre
Le ballon au voisinage d'une surface terrestre
Un
ballon gonflé à l'hélium s'élève dans l'atmosphère. On suppose que le
champ de pesanteur g est uniforme et que les frottements de l'air sont
négligeables.
Le ballon prend son envol à t=0 dans le plan (Oxz) d'un angle a.
1) Déterminer la trajectoire du ballon.
2) Arrivé à une altitude z=z(max), le ballon perd de l'hélium et va
vers le sol à une vitesse V'. Déterminer la masse de lest Dm que doit
jeter les aéronautes pour reprendre de l'altitude..
1)
Le ballon de masse m est soumis à deux forces :
-Poids P = mg.
-Poussée d'Archimède P.
On applique le principe fondamental de la dynamique (on néglige les
frottements fluides)
mg = ma
D'où
a = g
A t = 0 :
selon x, a = 0 ; v = vo cos a ; x = vo cos a t.
selon y, a = 0 ; v = 0 ; y = 0.
selon z, a = -g ; v = -gt + vo sin a ; z = -gt² + vo sin a t.
vo : vitesse initiale.
La trajectoire est située dans le plan vertical
vo = x / (cos a t) ; t = x / (vo cos a)
D'où
z = -g x² / (vo² cos²a) + tan a x
2) L'accélération du ballon a devient a' = -a e(z) ou encore -ma = -mg
+ P.
On ne tient pas compte du régime transitoire ce qui implique
(m -Dm) a = -(m-Dm) g + P
D'où
Dm = 2m a / (a+g)
