Le ballon au voisinage d'une surface terrestre
Un ballon gonflé à l'hélium s'élève dans l'atmosphère. On suppose que le champ de pesanteur g est uniforme et que les frottements de l'air sont négligeables.
Le ballon prend son envol à t=0 dans le plan (Oxz) d'un angle a.
1) Déterminer la trajectoire du ballon.
2) Arrivé à une altitude z=z(max), le ballon perd de l'hélium et va vers le sol à une vitesse V'. Déterminer la masse de lest Dm que doit jeter les aéronautes pour reprendre de l'altitude.
Corrigé
1) Le ballon de masse m est soumis à deux forces :
-Poids P = mg.
-Poussée d'Archimède P.
On applique le principe fondamental de la dynamique (on néglige les frottements fluides) :
mg = ma
D'où a = g .
A t = 0 :
selon x, a = 0 ; v = vo cos a ; x = vo cos a t.
selon y, a = 0 ; v = 0 ; y = 0.
selon z, a = -g ; v = -gt + vo sin a ; z = -gt² + vo sin a t.
vo : vitesse initiale.
La trajectoire est située dans le plan vertical :
vo = x / (cos a t) ; t = x / (vo cos a)
D'où
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z = -g x² / (vo² cos²a) + tan a x |
2) L'accélération du ballon a devient a' = -a e(z) ou encore -ma = -mg + P.
On ne tient pas compte du régime transitoire ce qui implique :
(m -Dm) a = -(m-Dm) g + P.
D'où
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Dm = 2m a / (a+g) |