Les équations de Bernouilli
Cette première partie vise à démontrer le cheminement à suivre pour arriver à déterminer les équations de Bernouilli .
Dans le cas d'un fluide parfait ( efforts tangentiels au solide qui disparaissent ) et incompressible et lors d'un régime stationnaire :
div V = 0 ( car r=0 dans un fluide incompressible )
pf = -grad Ep
Ep : énergie potentielle présente dans le fluide .
V : volume du solide dans lequel baigne le fluide .
f : force de volume par unité de surface .
Or, dans un fluide parfait, il n'y a pas de pertes de matières, d'où m = é rdV ( V : volume du solide )
m : masse du solide
De plus, la circulation du solide ( notée A ) dans un contour w est telle que :
d/dt é AdV = é adV = é -fdS + é A'dV ( Volume du solide défini par le contour w )
a : apport de A ( Volume / temps )
f : apport de A ( Surface / temps )
A' : production de A ( Volume / temps )
D'où :
é sf/st + div (rV) dVdS = 0
et [(dr/dt) + (grad r)*V] +rdiv V = ( Df/Dt) + rdiv V = 0
f : force du volume par unité de surface .
Df : différentielle totale de f
La quantité du mouvement est conservée aussi :
és(rV)dV / st + érVdS = é-rgz dV - é-pdS ( Surface délimitée par le contour du solide )
D'où és(0,5rV²)dV / st + é0,5rV²dS = é rfV dV - é-pVdS .
és(0,5rV²)dV / st + é0,5rV²dS = rfV-div(pV)
Comme div(x*V)=x*divV+Vgrad x, nous avons :
rs(0,5rV²)/ st + 0,5V²sf / st + 0,5V²div(rV) + rVgrad (0,5V²)=rsV/ st +0,5V² + sr/ st + div (rV) + rVgrad (0,5V²)
avec la conservation de la masse, sr/ st + div (rV) = 0 .
D'où rs(0,5rV²)/ st + 0,5V²sf / st + 0,5V²div(rV) + rVgrad (0,5V²)=rf - pdiv V - V grad p .
Le fluide est incompressible, d'où pdiv V = 0 .
avec rf=-grad Ep et Ep = 0,5rV²,
[rsV/ st + grad (0,5V² + p + Ep )]*V=0
[rsV/ st + grad (0,5V² + p + Ep )]=0 le long d'une ligne de courant .
rDV/Dt - r[sV/ st + grad V*V ] = r[sV/ st + grad V²/2 + (rot V)^V]=rf -grad p
d'où [rsV/ st + grad (0,5rV² + p + Ep ) + ( rot V ) ^V] * t =0
D'après le théorème de l'énergie cinétique,
Ec(t1)-Ec(t) = Somme W
avec t1 différent de t .
Ec : énergie cinétique .
W : travail des forces extérieures au mouvement .
D'où
0,5m2V2² -0,5m1V1² = -m2gz2 + m1gz1
0,5rV2² + r2 + rgz2 = 0,5rV1² + r1 + rgz1